Число 36 имеет такие делители: 1, 2, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Число 126 имеет такие делители: 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63, 126.
Синим цветом мы выделили числа 1, 2, 6, 9, 18, которые являются общими делителями чисел 36 и 126. Наибольшим из данных множителей является 18.
Наибольшее натуральное число, на которое делятся нацело каждое из двух данных натуральных чисел, называют наибольшим общим делителем этих чисел. |
Наибольший общий делитель чисел и обозначают так: НОД(; ), то есть мы можем записать НОД(36; 126) = 18.
Предварительно разложив числа на простые множители, мы упростим нахождение наибольшего общего делителя многозначных чисел.
Найдем НОД(240; 165).
240 = 222235 165 = 3511.
Синим мы выделили все общие простые делители рассматриваемых чисел, это 3 и 5. Значит, оба данных числа делятся и на произведение данных чисел, то есть на 35 = 15, оно и будет являться наибольшим общим делителем чисел 240 и 165, то есть НОД(240; 165) = 35 = 15.
Найдем НОД(2520; 4620).
2 520 = 2223357 4 620 = 2235711.
Рассмотрев разложения данных чисел, мы можем заметить, что некоторые простые множители повторяются, например, число 2 в разложении числа 2520 повторяется трижды, а в разложении числа 4620 - дважды. Заметим, что число 4 = 22 является делителем и числа 2520, и числа 4620, а число 8 = 222, является делителем только числа 2520. Так же число 3 является множителем рассматриваемых чисел, а число 9 = 33 является только делителем числа 2520. Кроме чисел 4 и 3, общими делителями данных чисел являются числа 5 и 7.
Мы получили, что числа 2520 и 4620 делятся без остатка на каждое из чисел 4, 3, 5, 7, на их произведение 4357 рассматриваемые числа тоже делятся без остатка, то есть мы получили, что НОД(2520; 4620) = 4357 = 420.
Таким образом, можно найти НОД, разложив числа на простые множители и выписав те, что входят в разложение обоих чисел (или можно просто зачеркнуть те множители, которые есть только в разложении одного числа, например, в разложении числа 2520 нам надо вычеркнуть одну 2 и одну 3, а в разложении числа 4620 число 11).
Таким же образом можно найти НОД трех и более чисел.
Чтобы найти НОД нескольких натуральных чисел, надо:
|
Заметим, что если все данные числа делятся на одно из них, то это число и является НОД данных чисел.
Натуральные числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1. |
Нам известно, что разложение на простые множители, мы можем записать в виде произведения степеней, то есть в последнем примере мы можем записать, что:
2 520 = 23325171
4 620 = 22315171111.
Тогда НОД мы можем найти по следующему правилу:
|
Найдем НОД(2520; 4620):
Признаки делимости на 10, на 5 и на 2
Признаки делимости на 9 и на 3
Разложение на простые множители
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Сложение и вычитание смешанных чисел
Приведение дробей к общему знаменателю
Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
6 класс
Номер 141, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 154, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 240, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 259, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Задание 147, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 191, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 193, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 2.104, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 1
Задание 2.109, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 1
7 класс
Номер 351, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник